123456789
Atraktory

Z nieliniowością przekształceń matematycznych wiąże się pojęcie atraktora. Teoria atraktorów została stworzona przez Mitchella Feigenbauma na podstawie obserwacji zanotowanych w zabawach z kalkulatorem. Rozwiązując jakikolwiek problem metodą iteracyjną, zaczynamy od punktu startowego w pewnej przestrzeni i wymuszamy w niej ruch poprzez kolejne iteracje (dynamika): bierzemy jakąkolwiek liczbę, funkcję lub zestaw funkcji (zależy to od rozpatrywanej przestrzeni), po czym wykorzystując ten start, wykonujemy pewną operację, na wyniku znowu wykonujemy tę samą operację itd. Jaki może być rezultat?

Zobaczmy to na przykładzie. Jako operację weźmiemy xn+1 = ln |tg xn|. Iteracja polega na starcie z dowolnego x0, a następnie wielokrotnym naciskaniu na kalkulatorze sekwencji trzech klawiszy (tangens, wartość bezwzględna, logarytm naturalny). Oto wyniki dla dwóch startów: x0 = 1410 i x0 = -2000:

1410 -2000
-0,55 -1,01
-4,65 -4,04
-2,51 -2,65
-3,13 -3,07
-2,91 -2,92
-2,98 -2,97
-2,96 -2,96
-2,96 -2,96
-2,96 -2,96

Otrzymujemy ten sam wynik niezależnie od startu. Liczba -2,96 jest atraktorem lub inaczej punktem stałym tej operacji.

Cykle graniczne

Czasem atraktor jest czymś innym niż punkt, w którym układ kończy swój los. Niekiedy układ skazany jest na powtarzanie „w kółko” tej samej wędrówki - sa to cykle graniczne.

Weźmy układ dwóch równań różniczkowych. Na rycinie 3 widzimy, że oba układy równań zachowują się diametralnie różnie. O ile rozwiązania pierwszego układu zależą od warunków początkowych, o tyle rozwiązania drugiego dążą dla dużych wartości t do jednakowej, niezależnej od warunków początkowych zależności y(x), czyli tzw. cyklu granicznego, w którym funkcje x(t) i y(t) wykazują periodyczne oscylacje.

Kliknij, aby zobaczyć powiększenie
Rycina 3: Cykl graniczny. (a) Wykresy x(t) dla trzech zestawów warunków początkowych pewnego ruchu. Widać, że trajektorie bardzo się różnią (losy układu zależą od warunków początkowych). (b) Idea cyklu granicznego na przykładzie rozwiązań pewnego układu równań różniczkowych nieliniowych. Dla dużych wartości t trzy zestawy warunków początkowych prowadzą do tej samej trajektorii [A. Babloyantz, Molecules. Dynamics and Life, Wiley-Interscience Publ., NJ 1986]

W chemii odpowiednikiem x i y są stężenia dwóch substancji. Rola cykli granicznych w nowej chemii będzie ogromna, bo dla pewnych specjalnych reakcji o nieliniowej zależności szybkości reakcji od czasu układ będzie ewoluował do stanu o quasiperiodycznych oscylacjach stężeń niezależnych od doboru warunków początkowych. Takie reakcje będą więc mogły pełnić funkcję regulatorów pewnych procesów chemicznych (zegara chemicznego).

123456789
powrót na górę strony
Wykład
Czas, rytmy chemiczne i przyszłość chemii
Strona
4/9
Autor
Wydział Chemii Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska