123456789
Bifurkacje i chaos

Dynamika nieliniowa okazała się niezwykle czuła na sprzężenie z otoczeniem.

Weźmy tzw. równanie logistyczne

x = Kx(1 - x),

gdzie K jest tzw. stałą wzrostu. Biolog Robert May dał swoim australijskim doktorantom zadanie obliczenia, jak ewoluuje względna populacja królików, gdy pozwolimy jej rozwijać się według prawa

xn + 1 = Kxn(1 - xn)

w oczywisty sposób związanego z równaniem logistycznym. Liczba naturalna n oznacza rok, a xn - populację, powiedzmy, królików na pastwisku, 0 ≤ xn ≤ 1. Liczba królików w roku (n + 1) jest proporcjonalna do xn, ale trzeba uwzględnić to, że króliki wyjadają trawę z pastwiska, im jest ich więcej, tym trawy pozostaje mniej (ten efekt daje czynnik 1 - xn).

W równaniu logistycznym jest więc zainstalowane sprzężenie zwrotne.

Stała K mierzy intensywność sprzężenia populacji królikow ze środowiskiem (złe pastwisko to małe K). Interesuje nas punkt stały tej operacji, czyli sytuacja, w której pozwalamy królikom żyć wiele lat w warunkach określonych przez stałą K. Dla K = 1 można na przykład łatwo sprawdzić, że szybko dostajemy punkt stały, niezależnie od punktu startowego x0. Doktoranci zakładali różne wartości stałej K. Nikt nie przypuszczał, że to równanie kwadratowe może kryć jakąś tajemnicę. Jeśli stałe były niskie (0 < K < 1), to populacja królików zanikała.

Kliknij, aby zobaczyć powiększenie
Rycina 4: Wykres punktów stałych i cykli granicznych dla równania logistycznego jako funkcja stałej sprzężenia K [J. Gleick, Chaos, Viking, New York 1988]

Jeśli K było trochę większe, to populacja rozkwitała (druga część wykresu: 1 < K < 3) aż do osiągnięcia stanu stacjonarnego. Wkrótce jednak pojawiały się kłopoty związane z tym rozkwitem. Otóż, jeśli K przekroczyło 3, to nie otrzymywano punktu stałego. Zamiast niego układ w kółko oscylował między dwiema wartościami populacji (w jednym roku tak, w drugim inaczej, znowu powrót do tego, co było 2 lata wcześniej itd. - trzecia część wykresu, okres 2). Przypomina to omówiony cykl graniczny: układ w końcu „kręcił się w kółko”.

Dokładnie to zbadano i wyniki były rewelacyjne. Przy dalszym zwiększaniu K oscylacje również ulegały jakościowym zmianom. Najpierw (3 ≤ K < 3,44948, okienko „okres 2”) oscylacje miały okres 2 (bifurkacja)7, potem, przy 3,44948 ≤ K < 3,5441 otrzymywało się oscylacje o okresie 4 (następna bifurkacja, okienko „okres 4”), potem dla 3,5441 ≤ K < 3,5644 o okresie 8 (kolejna bifurkacja).8

Przy dalszym zwiększaniu stałej sprzężenia od K = 3,56994 otrzymywało się populacje, które nie wykazywały żadnej regularności (chaos, okienko „chaos”). To nie koniec! Potem pokazywały się takie przedziały K, że okres był liczbą nieparzystą, wszystkie rozdzielone przedziałami K z chaosem.

123456789
powrót na górę strony
Wykład
Czas, rytmy chemiczne i przyszłość chemii
Strona
5/9
Autor
Wydział Chemii Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska