12345678
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2, Rok 2005 (zobacz w internecie)
Paweł Strzelecki
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
 
Wstęp

Newtonowska mechanika jest bardzo klasyczną dziedziną z pogranicza fizyki i matematyki. Wydawałoby się, że dziś - w epoce lotów kosmicznych, pomiarów czasu z dokładnością do niewyobrażalnie małych ułamków sekundy, inteligentnych pocisków rakietowych trafiających w cel z dokładnością do metra - dziedzina ta nie kryje już żadnych szczególnych zagadek. Jest to jednak sąd wysoce fałszywy: mechanika newtonowska, widziana oczyma matematyka, zawiera mnóstwo otwartych pytań, a także wiele zaskakujących wyników, które pokazują, jak zawodna i niedoskonała jest nasza intuicja. O jednym z takich wyników chcę tu opowiedzieć. Chodzi o pochodzące sprzed kilkunastu lat rozwiązanie problemu Painlevégo, czyli o dowód istnienia w klasycznym zagadnieniu n ciał tzw. osobliwości niezderzeniowych.

Osobliwość niezderzeniowa to taki ruch n punktów materialnych, w którym nie dochodzi do zderzenia żadnej ich pary, a przy tym po skończonym czasie suma wszystkich odległości tych par dąży do nieskończoności! W fizyce relatywistycznej takie zjawisko oczywiście nie może się wydarzyć: prędkości są ograniczone. Okazuje się jednak, ze w świecie rządzonym prawami Newtona takie paradoksalne zachowanie n ciał jest jak najbardziej możliwe.

Pytanie o istnienie osobliwości niezderzeniowych pozostawało bez odpowiedzi przez prawie sto lat. Postawił je w końcu XIX w. Paul Painlevé. Aby ujrzeć we właściwym świetle i samo pytanie, i szkic jego rozwiązania, zacznijmy opowieść od początku.

Zagadnienie n ciał

Jak wiadomo, z drugiej zasady dynamiki i newtonowskiego prawa grawitacji wynika, ze ruch n punktów materialnych (o masach m1, . . . , mn) pod wpływem sił grawitacji opisywany jest przez układ równań różniczkowych.

     (1)

Zmienna t oznacza czas, a wektor xj = xj (t) ∈ R3 (j = 1, . . . , n) - położenie j-ego punktu w przestrzeni R3 w chwili t. Jak widać, siła mjx''j działającą na j-y punkt jest suma sił jego oddziaływań grawitacyjnych z pozostałymi punktami. Układ jednostek został tak dobrany, ze stała grawitacji G = 1; matematykowi wolno to zrobić bezkarnie

Występującą w układzie równań (1) funkcja U dana jest wzorem i z fizycznego punktu widzenia jest równa energii potencjalnej układu wziętej z przeciwnym znakiem.

Typowe pytania, jakie stawia matematyk, widząc jakikolwiek układ równań różniczkowych, to pytania o istnienie i jednoznaczność rozwiązań, o ich stabilność, wreszcie (gdy ma to sens, a tu akurat ma) o istnienie rozwiązań okresowych lub prawie okresowych. Bez odpowiedzi na te pytania nie można mówić, że dysponujemy sensownym modelem matematycznym zjawiska fizycznego.

12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
1/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska