12345678
Lokalne istnienie i jednoznaczność

To akurat sprawa stosunkowo prosta; aby ją krótko omówić, wprowadzimy kilka oznaczeń, które przydadzą się w całym artykule.

Konfiguracje całego układu wygodnie będzie opisywać za pomocą wektora położeń punktów materialnych x = (x1, . . . , xn) należącego do 3n-wymiarowej przestrzeni kartezjańskiej R3n. Prawa strona układu (1), a także energia potencjalna, nie są określone zawsze; wyróżnijmy w przestrzeni R3n tzw. zbiór zderzeń

     (2)

gdzie

jest zbiorem wszystkich tych konfiguracji układu, w których dochodzi do zderzenia pewnej pary punktów materialnych (i-tego punktu z j-ym).

Poza zbiorem zderzeń, tzn. w R3n \ Z, prawa strona układu (1) opisującego zagadnienie n ciał jest dobrze określona , bardzo porządna funkcja gładka. Klasyczna teoria równań różniczkowych zwyczajnych daje wiec następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.

Dla każdego położenia początkowego x(0) ∈ R3n \ Z i każdej prędkości początkowej x'(0) ∈ R3n istnieje dokładnie jedno rozwiązanie x(t) zagadnienia n ciał (1). Jest ono określone dla wszystkich chwil t ∈ [0, t*), przy czym przedział [0, t*) jest maksymalny.

Innymi słowy, rozwiązania nie można określić na żadnym przedziale [0, T), gdzie T > t*. Oczywiście czas t* zależy od konfiguracji początkowej i prędkości początkowej. (Rozwiązanie można przedłużyć także na pewien przedział chwil t < 0, przeszłością układu nie będziemy się jednak zajmować).

Wygodna jest sytuacja, w której t* = ∞. Rozwiązania istnieją wtedy dla wszystkich chwil. Może się jednak zdarzyć, ze tak nie jest - np. wtedy, gdy w skończonym czasie dochodzi do zderzenia pewnej pary ciał. Jeśli t* < ∞., to mówimy, ze rozwiązanie x(t) doświadcza osobliwości w chwili t*.

Twierdzenie o lokalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań ma wielka wadę: ani nie pozwala określić rozwiązania jawnym wzorem, ani też nie orzeka, jaki jest maksymalny przedział istnienia rozwiązania. Co w takiej sytuacji robi matematyk? Patrzy na przykłady i szuka innych dróg wyjścia.

Twierdzenie o lokalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań ma wielka wadę: ani nie pozwala określić rozwiązania jawnym wzorem, ani też nie orzeka, jaki jest maksymalny przedział istnienia rozwiązania. Co w takiej sytuacji robi matematyk? Patrzy na przykłady i szuka innych dróg wyjścia.

12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
2/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska