12345678
Zagadnienie dwóch ciał

To jest przykład najprostszy. Okazuje się, że o rozwiązaniach można w tej sytuacji powiedzieć dużo więcej. Jak wykazał sam Newton, wektor y(t) = x1(t) — x2 (t) spełnia tzw. równanie Keplera.

Newton scałkował to równanie i udowodnił następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.

Wszystkie rozwiązania równania Keplera to stożkowe o jednym z ognisk w początku układu współrzędnych.

Dowód można znaleźć w prawie każdym podręczniku metod matematycznych mechaniki, np. [1] (p. 2.10.5) lub [2] (p. 11.1 i 11.2). Z twierdzenia Newtona wynika, ze wszystkie okresowe rozwiązania równania Keplera opisują ruch po elipsach. Był to wielki tryumf newtonowskiej teorii grawitacji: potwierdzenie czystym rachunkiem i dedukcja tego, co sam Kepler postulował na podstawie sumiennej analizy wyników obserwacji Tychona Brahe.

Skoro o obserwacjach mowa, przerwijmy na chwile opowieść o zagadnieniu n ciał i przytoczmy prosty, niemal banalny przykład układu dynamicznego, w którym obserwacje sugerują coś, co w istocie wcale nie jest prawdą. To skądinąd stary truizm: zachowanie układu dynamicznego po długim czasie może być zupełnie różne od tego, które obserwujemy dla stosunkowo niewielkich przedziałów czasu.

Przykład. Rozważmy ciąg dn, którego wyrazami są początkowe cyfry dziesiętne kolejnych potęg dwójki - poczynając od 20. Oto początkowy fragment tego ciągu:

1,2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
1,2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
1,2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, . . .

Zadajmy pytanie: czy w ciągu dn pojawia się siódemka? (Patrz [1], zad. 4, s. 73, a także Delta nr 7/1994).

Pierwszy odruch niezbyt pracowitego eksperymentatora jest jasny: nie, wszak każdy widzi, ze to ciąg okresowy, o okresie 10, i siódemka w ogóle w nim nie występuje.

Eksperymentator cierpliwy da inna odpowiedz: d46 = 7, gdyż 246 = 70 368 744 177 664. Siódemka jest tez pierwsza cyfra każdej z liczb 256, 266, 276, 286 i 296, natomiast pierwsza cyfra 2106 jest już 8. To efekt mnożenia przez 210 = 1024 ≈ 1000; choć w przybliżeniu polega ono na dopisywaniu trzech zer, to jednak niewielkie zaburzenia stopniowo się kumulują.

Zadajmy wiec kolejne pytanie: czy w ciągu dn występuje nieskończenie wiele siódemek? Tu już eksperyment nie pomoże.

Odpowiedź nie jest trudna, wystarczy zrozumieć, co to znaczy, że 7 jest początkową cyfra liczby 2n. Otóż jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy

     (3)

Po zlogarytmowaniu zapisujemy powyższe nierówności w równoważnej postaci

lub, pozbywszy się niepotrzebnej zmiennej k,

     (4)

(nawias kwadratowy oznacza część całkowitą liczby, tzn. jej entier lub, jak kto woli, cechę).

Odpowiedź na pytanie, czy siódemka jest początkowa cyfra nieskończenie wielu potęg dwójki, wynika z dwóch prostych faktów.

Lemat 3. Liczba log 2 jest niewymierna.

Lemat 4. Jeśli liczba x jest niewymierna, to wyrazy ciągu an := nx - [nx], tzn. części ułamkowe kolejnych wielokrotności x, stanowią gesty podzbiór odcinka [0, 1]: do każdego przedziału otwartego (a, b), gdzie 0 < a < b < 1, należy nieskończenie wiele z nich.

Dowód pierwszego lematu jest natychmiastowy: gdyby było prawda, ze log 2 = k/l dla pewnych liczb naturalnych k oraz l, to mięlibyśmy 10k = 2l, czyli oczywista sprzeczność. Dowód drugiego jest nieco trudniejszy, ale można go uznać za ćwiczenie. Trzeba najpierw wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu an są różne (wynika to z niewymierności x). Zatem dla każdego ε > 0 istnieją dwa wyrazy ak oraz ak+j różniące się o dodatnia liczbę δ < ε. To oznacza, ze powiększając numer wyrazu o liczbę j, przesuwamy się po odcinku [0, 1] o kroczek długości δ. Nie zdołamy wiec przeskoczyć przez żadną dziurę dłuższą niż δ. Szczegóły rozumowania nie jest trudno uzupełnić.

Jeśli w lemacie 4 weźmiemy x = log 2, a = log 7 oraz b = log 8, to widzimy, ze warunek (4), a wiec także równoważny mu warunek (3) są spełnione dla nieskończenie wielu n: siódemka jest pierwsza cyfra nieskończenie wielu potęg dwójki. Oczywiście żadne szczególne cechy siódemki nie odgrywały roli w rozumowaniu, dlatego dla dowolnego skończonego ciągu cyfr można znaleźć potęgi dwójki, które w zapisie dziesiętnym rozpoczynają się właśnie od niego. Na przykład, liczba 226399 ma na początku swego zapisu dziesiętnego siedem siódemek, 21871 - rok pierwszego wydania Principiów Newtona, a 2236778 - dzień i miesiąc urodzin autora tego artykułu.

12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
3/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska