12345678

No dobrze, zapyta ktoś, ale dlaczego po obejrzeniu 30 wyrazów wydaje się, że ciąg dn jest okresowy? I co to ma wspólnego z zagadnieniem n ciał?

Odpowiedź na pierwsze pytanie jest prosta. Otóż log 2 = 0,301 029 995 . . . jest bardzo bliski liczby wymiernej y = 0,3, a ciąg 0,3 ˇ n - [0,3 ˇ n] jest okresowy i ma okres 10. Odpowiedź na drugie pytanie jest nieco bardziej złożona: na pozór nic, ale każdy układ hamiltonowski o n stopniach swobody, który ma n istotnie różnych całek pierwszych (tzw. całek pierwszych w inwolucji) można po odpowiedniej zamianie zmiennych zapisać w tzw. zmiennych : jeśli n-wymiarowe poziomice całek pierwszych są zwarte, to są wtedy torusami i na każdym z takich torusów ruch odbywa się według przepisu

gdzie ci są stałymi, a Θi mod 2Π są współrzędnymi na n-wymiarowym torusie, czyli kątami; patrz np. [1], rozdz. 10. Przykład z potęgami dwójki to w istocie lekko zamaskowany jednowymiarowy przypadek tego typu. Bogatsi o tę wiedzę, wróćmy do zagadnienia n ciał.

Zagadnienie trzech ciał

To kolejny naturalny przypadek szczególny, w którym jednak zamiast iluminacji podobnej do wspomnianego wcześniej wyniku Newtona napotykamy przykra niespodzianka: zagadnienie trzech ciał nie jest całkowalne w kwadraturach. Nie ma żadnego jawnego wzoru czy przepisu na wszystkie jego rozwiązania. Jak wykazał H. Bruns w 1887 r., w zagadnieniu trzech ciał istnieje tylko 10 niezależnych całek pierwszych: energia całkowita, trzy współrzędne środka masy, trzy współrzędne pędu i trzy współrzędne momentu pędu. Każda inna całka pierwsza jest od nich zależna. Tymczasem dla n = 3 układ (1) zawiera 9 równań drugiego rzędu (po trzy równania na współrzędne przyspieszenia każdego z trzech ciał), które można zapisać jako 18 równań rzędu pierwszego - por. równania (5) dalej. Całek pierwszych jest wiec po prostu za mało.

Przykładów rozwiązań szczególnych zagadnienia trzech ciał znamy bardzo niewiele. Dwa z nich podali jeszcze w XVIII w. Lagrange i Euler, tworząc je zręcznie z ogólnego wzoru na rozwiązanie zagadnienia dwóch ciał. Przykład Lagrange'a to takie rozwiązanie, w którym trzy ciała o równych masach są w chwili początkowej w wierzchołkach trójkąta równobocznego i poruszają się w taki sposób, ze stale pozostają wierzchołkami pewnego trójkąta równobocznego. W przykładzie Eulera trzy ciała przez cały czas leżą na jednej prostej; stosunki ich odległości są stale takie same jak w chwili początkowej.

Bardzo znana rodzina rozwiązań zagadnienia trzech ciał to tzw. orbity Hilla, uzyskiwane dla trzech ciał o dużych stosunkach mas poruszających się po niemal kołowych orbitach i wykorzystywane do przybliżonego opisu ruchu układu Słońce-Ziemia-Księżyc.

Wreszcie, kolejne jawne rozwiązanie zagadnienia trzech ciał podali w roku 2001 Alain Chenciner i Richard Montgomery: trzy ciała o równych masach poruszają się okresowo po krzywej w kształcie ósemki; przesuniecie fazowe miedzy dwoma kolejnymi ciałami jest równe jednej trzeciej okresu.

12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
4/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska