12345678
Problem Painlevégo

Pytanie, o którym wspomniałem na początku, postawił w 1895 r. Paul Painlevé w związku ze swymi pracami nad zagadnieniem trzech ciał. Aby je sformułować ściśle, należy wpierw wspomnieć o naturalnym podziale osobliwości w zagadnieniu n ciał na dwie klasy i o dwóch twierdzeniach Painlevéego.

Przypuśćmy, ze rozwiązanie x(t) zagadnienia n ciał doświadcza osobliwości w chwili t*< ∞. Możliwe są wtedy dwie sytuacje:

  • x(t) → q dla t) → t*, gdzie q ∈ Z jest pewnym ustalonym punktem; osobliwość nazywamy wtedy zderzeniem, gdyż w granicy dochodzi do spotkania dwóch lub większej liczby ciał w jednym punkcie (o tym, które ciała się zderzają, decydują współrzędne punktu q);
  • trajektoria nie dąży do żadnego ustalonego punktu w zbiorze Z; wtedy mówimy, ze w chwili t* rozwiązanie ma osobliwość niezderzeniowa.

Painlevé był w stanie wykluczyć jeden z możliwych do pomyślenia scenariuszy osobliwości niezderzeniowych: taki, który polegałby na tym, że trajektoria zbliża się do zbioru zderzeń Z, a potem odeń odskakuje, znów się doń zbliżą i odskakuje, i tak dalej, coraz częściej i coraz szybciej.

Twierdzenie 5 (Painlevé). Nie można przekomarzać się z osobliwością. Dokładniej, jeśli (x(ti) → Z dla pewnego ciągu chwil ti → t*, to

Symbol „dist” oznacza odległość punktu od zbioru:

Jeśli więc można wskazać taki ciąg chwil zbieżny do t*, w których punkty trajektorii dążą do zbioru zderzeń, to cała trajektoria nie ma wyboru i też musi dążyć do zbioru zderzeń. O odskakiwaniu na ustaloną odległość nie ma mowy.

Szkic dowodu tego twierdzenia wcale nie jest trudny. Niech

oznacza minimalna odległość punktów układu w chwili t, niech v j (t) = x'j(t) będą prędkościami, a

energia kinetyczna układu. Z zasady zachowania energii wynika, że Ek - U = const.

Z klasycznej teorii równań różniczkowych zwyczajnych wiadomo, że rozwiązania dowolnego układu równań x'(t) = f(x) istnieją na przedziale o długości &delta, która zależy jedynie od ograniczenia górnego na wartość prędkości, tzn. na długość |f(x)| wektora f(x). Z fizycznego punktu widzenia jest to prawie oczywiste: układ równań różniczkowych jest przepisem na to, w jaki sposób należy się poruszać. Jeśli wiadomo, że w pewnym otoczeniu położenia startowego wartość prędkości narzucona przez ów przepis jest niezbyt duża - powiedzmy nie większa od vmax, - to wiadomo także, że pobyt wewnątrz tego otoczenia potrwa przez czas rzędu 1/ vmax albo dłużej.

Zagadnienie n ciał można zapisać jako układ równań pierwszego rzędu. Wystarczy pamiętać, że prócz położeń i przyśpieszeń mamy jeszcze prędkości:

     (5)

Gdyby twierdzenie Painlevégo było fałszywe, to znaleźlibyśmy ciąg takich chwil → t*, w których trajektoria układu w przestrzeni R3n pozostawałaby w ustalonej odległości od zbioru zderzeń. To oznacza, że dla wszystkich par odległości miedzy tworzącymi je ciałami mierzone w chwilach byłyby większe od ustalonej liczby dodatniej d. Wtedy jednak w pewnym otoczeniu każdego punktu x( ), powiedzmy w kuli o środku x( ) i promieniu d/3, ograniczona byłaby funkcja U (gdyż każdy składnik sumy byłby ograniczony), a wiec także energia kinetyczna Ek, gdyż Ek - U = const. To daje ograniczenie górne wszystkich prędkości x'j oraz ograniczenie górne wszystkich prawych stron równań (5).

12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
5/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska