12345678

W związku z tym twierdzeniem Painlevé postawił pytanie, czy osobliwości niezderzeniowe w ogóle w zagadnieniu n ciał istnieją (przy odpowiednim doborze mas oraz położeń i prędkości początkowych). Każda taka osobliwość musiałaby polegać na tym, ze trajektoria zbliża się do zbioru zderzeń, lecz nie dąży do żadnego ustalonego punktu w tym zbiorze, tzn. odległość żadnej pary ciał nie dąży do zera, a mimo to minimalna odległość wszystkich par ciał dąży do zera.

Pytanie o to, czy to się może wydarzyć, jest o tyle ciekawe, ze Painlevé udowodnił jeszcze jedno twierdzenie.

Twierdzenie 6.

W zagadnieniu trzech ciał osobliwości niezderzeniowe nie występują.

Dowód nie jest bardzo trudny; trzeba wykorzystać nierówność trójkąta, żeby wykazać, ze od pewnej chwili minimalna odległość rmin(t) określają stale dwa te same ciała (i nie ma mowy o żadnej zamianie ról).

Wkrótce później pojawił się jeszcze jeden wynik.

Twierdzenie 7 (von Zeipel, 1908).

Jeśli rozwiązanie x(t) zagadnienia n ciał ma osobliwość niezderzeniową w chwili t*, to

     (6)

Innymi słowy, jeśli istnieje osobliwość niezderzeniowa, to maksymalna odległość miedzy n punktami materialnymi, które poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, może w skończonym czasie wzrastać do nieskończoności.

Zakrawa to na absurd, gdyż aby umożliwić spełnienie warunku (6), energia kinetyczna układu powinna też dążyć do plus nieskończoności! Nie ma tu jednak wcale żadnej łatwej sprzeczności z zasada zachowania energii: zauważmy, ze w pobliżu zbioru zderzeń Z energia potencjalna -U nie jest ograniczona z dołu i dąży do minus nieskończoności, gdy punkt x = (x1, . . . , xn) zbliża się do zbioru zderzeń.

Mimo to warunek podany w twierdzeniu von Zeipela jest tak dziwny, że o problemie Painlevégo zapomniano na długie lata. Pewne cząstkowe wyniki i spostrzeżenia zaczęły pojawiać się dopiero w latach siedemdziesiątych XX w. Ostateczne rozwiązanie pochodzi sprzed kilkunastu lat. Oto i ono.

Twierdzenie 8 (Zhihong Xia, 1992).

W zagadnieniu pięciu ciał istnieją osobliwości niezderzeniowe.

Dowód Xia zawarty jest w pracy [3] w Annals of Mathematics, najsłynniejszym czasopiśmie matematycznym na świecie. Jürgen Moser, jeden z twórców słynnej teorii KAM, w tekście swego plenarnego wykładu [4] otwierającego Międzynarodowy Kongres Matematyków w Berlinie w 1998 r., zatytułowanego „Układy dynamiczne - przeszłość i teraźniejszość”, napisał: „Przedstawię w tym wykładzie to, co uważam za znaczące postępy w dziedzinie układów dynamicznych w ostatnich 50 latach. Dziedzina ta rozwinęła się w owym czasie wspaniale, wiec moje zadanie byłoby niewykonalne, gdybym nie przyjął ostrych kryteriów. ” I po tych słowach wymienił wśród wspomnianych „znaczących postępów” wynik Xia, używając w jego opisie paru wykrzykników, choć skądinąd wiadomo, ze matematycy nie są skłonni do zbyt ostentacyjnego wyrażania emocji w piśmie.

Zasadniczy pomysł konstrukcji Xia jest bardzo prosty, warto wiec o nim opowiedzieć. Szczegóły są bardzo techniczne i nie będziemy ich omawiać.

Konstrukcja Xia

Rozważamy na początek cztery ciała: dwie gwiazdy podwójne, o parami równych masach m1 = m2 oraz m3 = m4. Poruszają się one symetrycznie, w dwóch równoległych płaszczyznach, prostopadłych do osi z w R3, po niemal eliptycznych orbitach. Zarówno m1 oraz m2, jak i m3 oraz m4 są przez cały czas położone symetrycznie względem osi z. Do tego układu dodajemy piąte ciało: lekki wahadłowiec o masie m5, który porusza się wzdłuż osi z. Środek masy pięciu ciał znajduje się w początku układu współrzędnych, a łączny moment pędu całego układu jest równy zeru. W chwili początkowej wahadłowiec znajduje się miedzy dwiema płaszczyznami, w których krążą gwiazdy podwójne, i zbliża się do jednej z nich - powiedzmy, podróżując w górę, w stronę płaszczyzny zajmowanej przez m1 oraz m2.

Położenia i prędkości początkowe gwiazd i wahadłowca dobrane są w taki sposób, że gdy wahadłowiec przechodzi ponad płaszczyznę ciał m1 oraz m2, one właśnie nieomal osiągają swą minimalna odległość (a cała trójka jest bardzo blisko potrójnego zderzenia). Wahadłowiec doznaje wtedy potężnego pchnięcia w przeciwna stronę, tzn. w kierunku płaszczyzny, w której poruszają się m3 oraz m4. Po bardzo krótkiej chwili wracający w dół wahadłowiec ponownie przecina płaszczyznę gwiazdy m1-m2; ciała m1 oraz m2 zaczęły się już jednak oddalać, co zmniejsza siłę wywierana przez nie na m5.

12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
6/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska