12345678

W artykule [5] Donald Saari i Zhihong Xia opisują następującą poglądową analogie tego efektu: gdy stojąc upuścimy trzymana na wysokości piersi piłkę tenisowa lub golfowa na twarde podłoże, odbije się ona na wysokość około metra, może nieznacznie więcej. Jeśli jednak umieścimy tę samą niewielka piłkę tuż nad piłka do koszykówki (tak aby środki obu piłek były na jednej pionowej linii, a ich powierzchnie prawie się dotykały) i upuścimy z ok. 1,5 m obie piłki, to efekt odbicia będzie widowiskowy - tak widowiskowy, że lepiej wykonywać ten eksperyment na dworze i z dala od łatwo tłukących się przedmiotów. Wyjaśnienie jest proste: lekka piłka nie odbija się od nieruchomego podłoża, lecz od poruszającej się już w górę ciężkiej piłki, od której przejmuje cześć jej dużego pędu.

Podobnie jest z wahadłowcem: pchnięty w stronę płaszczyzny ciał m3 oraz m4, porusza się w ich stronę (jak wspomnieliśmy, odległość ciał m1 oraz m2 rośnie, a ich przyciąganie się słabnie; płaszczyzna, w której krążą m1 oraz m2 oddala się, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, od płaszczyzny xy układu współrzędnych w R3). Gdy wahadłowiec przecina płaszczyznę, w której krąży gwiazda podwójna m3-m4, odległość punktów materialnych m3 oraz m4 jest akurat bardzo mała, a cała trójka m3, m4, m5 jest o włos od potrójnego zderzenia. Tym razem wahadłowiec doznaje potężnego pchnięcia w stronę płaszczyzny ciał m1 oraz m2.

Xia wykazuje na kilkudziesięciu stronach, że warunki początkowe i masy całej piątki ciał można dobrać tak, by ów scenariusz dał się powtórzyć nieskończenie wiele razy w skończonym czasie, od chwili początkowej 0 do granicznej chwili t*. W przestrzeni warunków początkowych trzeba wybrać pewien obszar (w kształcie, z grubsza biorąc, klina), który umożliwia pierwsze przyspieszenie wahadłowca przez jedna z gwiazd podwójnych. W owym klinie znajda się kolejne kliny warunków początkowych, umożliwiających drugie pchniecie wahadłowca, tym razem przez drugą gwiazdę podwójna, i tak dalej, na przemian. Część wspólna wszystkich kolejno definiowanych klinów to warunki początkowe prowadzące do osobliwości niezderzeniowej. Jest to zbiór mocy continuum, podobnie jak konstruowany w analogiczny sposób zwykły zbiór Cantora.

Trzeba starannie zadbać o to, by w żadnej z gwiazd podwójnych nie doszło do zderzenia pary tworzących ją punktów materialnych, a także o to, by efekty przyspieszania były coraz silniejsze (jest to możliwe wtedy, gdy minimalne odległości jednej i drugiej pary ciał tworzących gwiazdy podwójne dążą do zera). Cały dowód jest delikatny i trudny; wymaga szczegółowej analizy tego, co dzieje się w otoczeniu warunków początkowych, które prowadzą do potrójnego zderzenia ciał m1, m2, m5 oraz jednoczesnego z nim podwójnego zderzenia m3 oraz m4. Xia prowadzi istotna część swoich obliczeń na podstawie różnych wcześniejszych badań osobliwości zderzeniowych, wykorzystując m.in. pewną pomysłową zamianę zmiennych zdefiniowana w 1974 r. przez McGehee'ego, która pozwala „rozdmuchać ” osobliwość i (po przeskalowaniu czasu) zdefiniować przedłużenie całego rozpatrywanego układu dynamicznego w nowej, powiększonej przestrzeni fazowej.

Osobliwość niezderzeniowa pojawia się w tej konstrukcji dlatego, że w granicy t → t* odległość płaszczyzn obu gwiazd podwójnych rośnie do nieskończoności. Ponieważ wahadłowiec odwiedza obie gwiazdy na przemian, nieskończenie wiele razy, wiec jest jasne, że trajektoria całego układu nie dąży do żadnego ustalonego punktu w zbiorze zderzeń.

Diabeł tkwi oczywiście w rachunkach i szczegółach technicznych; my, zgodnie z zapowiedzią, poprzestaniemy na powyższym ogólnym szkicu.

12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
7/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska