12345678
Inne wyniki

Gdy się już wie, ze osobliwości niezderzeniowe istnieją, można się zastanawiać nad innym pytaniem: czy istnieje jakaś konkretna funkcja, która ograniczałaby tempo ekspansji wszelkich układów n ciał. W teorii względności prędkości są ograniczone przez prędkość światła c, co daje oczywiste ograniczenie tempa ekspansji. Natomiast w mechanice newtonowskiej jest zupełnie inaczej! Saari i Xia udowodnili następujący wynik.

Twierdzenie 9.

Niech f: [0, ∞) → [0, ∞) będzie dowolną funkcją rosnącą. Wtedy w zagadnieniu czterech ciał można tak dobrać masy i warunki początkowe, żeby

Zwróćmy uwagę na swobodę wyboru f - można wziąć np. f(t) = exp(exp(exp(exp(t100t)))), a i tak okaże się, że przy odpowiednim doborze warunków początkowych maksymalna odległość czwórki ciał poruszających się zgodnie z regułami dynamiki Newtona może rosnąć do nieskończoności szybciej niż f(t).

Pytania bez odpowiedzi

Zakończymy tekst listą pytań, na które nie znamy odpowiedzi, blisko związanych z problemem Painlevégo i jego rozwiązaniem.

1) Konstrukcja Xia to jedynie przykład. Wymaga on szczególnego doboru mas i prowadzi do zbioru warunków początkowych, który ma zerową miarę Lebesgue'a (a więc trafienie na osobliwość niezderzeniowa tego typu ma zerowe prawdopodobieństwo). Czy można tak wybrać masy, żeby dla dowolnego wyboru położeń i prędkości nie dochodziło do osobliwości niezderzeniowej? Czy wszystkie warunki początkowe prowadzące do osobliwości niezderzeniowych mają zerowe prawdopodobieństwo?

2) Powiemy, że trajektoria zagadnienia n ciał jest bezpieczna, jeśli

tzn. jeśli odległość każdej pary ciał jest przez cały czas ograniczona zarówno z góry, jak i z dołu. Najprostszymi trajektoriami bezpiecznymi są rozwiązania okresowe. (Chcielibyśmy wierzyć, że trajektoria, wzdłuż której poruszają się ciała w Układzie Słonecznym, jest okresowa, a jeśli nie, to jest przynajmniej bezpieczna w wyżej opisanym sensie). Nie wiemy, czy wokół każdej trajektorii okresowej istnieje w przestrzeni fazowej zbiór otwarty w całości wypełniony trajektoriami bezpiecznymi. Nie wiemy, czy trajektorie okresowe są gęste wśród trajektorii bezpiecznych.

Co więcej, jak pisze Moser [4], jest do pomyślenia, ze uzupełnienie zbioru złożonego ze wszystkich trajektorii bezpiecznych stanowi gesty podzbiór całej przestrzeni fazowej. Byłaby to prawdziwa katastrofa: dowolnie mała zmiana warunków początkowych mogłaby wtedy doprowadzić do kolizji lub do ucieczki do nieskończoności... Scenariusz niczym z kiepskiego filmu science fiction, ale niestety matematyka wciąż nie potrafi go wykluczyć.

Teoria układów dynamicznych zajmuje w dzisiejszej matematyce jedno z centralnych miejsc. Świadczy o tym choćby pobieżny przegląd Medali Fieldsa (które w matematyce są odpowiednikami Nagród Nobla) i tytułów wykładów plenarnych na Międzynarodowych Kongresach Matematyków. Jak widać, zagadnienie n ciał, jeden z najbardziej klasycznych problemów tej dziedziny, wciąż jest źródłem intrygujących pytań i twierdzeń.

Literatura
[1] W.I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej (PWN, Warszawa 1981).
[2] G. Białkowski, Mechanika klasyczna (PWN, Warszawa 1975).
[3] Z. Xia, „The existence of noncollision singularities in Newtonian systems”, Annals of Math. 135, 411 (1992).
[4] J. Moser, „Dynamical systems - past and present”, Documenta Math., Extra Vol. ICM 1998, Part I, s. 381.
[5] D.G. Saari, Z. Xia, „Off to infinity in finite time”, Notices of the Amer. Math. Soc. 42, 538 (1995).
 
O autorze
Dr Paweł Strzelecki - matematyk - pracuje w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego. W dobre dni zajmuje się układami nieliniowych równań eliptycznych (podobnymi do tych, które pojawiają się np. w modelu Ericksena nematycznych ciekłych kryształów), rachunkiem wariacyjnym, przestrzeniami Sobolewa, analizą harmoniczną i ich wzajemnymi związkami. W gorsze dni pełni obowiązki wicedyrektora IM UW ds. dydaktycznych. Prócz szeroko rozumianej analizy matematycznej lubi dobrą kuchnię (z wszelkich zakątków świata) w dobrym towarzystwie i rześkie, słoneczne poranki w górach.
 
 
12345678
powrót na górę strony
Wykład
O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał
Strona
8/8
Autor
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Kliknij nazwisko autora, aby zobaczyć notkę biograficzną w serwisie Nauka Polska